خسته‌کننده‌ترین اعداد جهان اعلام شدند

عدد مورد علاقه شما چیست؟ بسیاری از مردم ممکن است در پاسخ به این سوال یک عدد نامتعارف را در ذهن داشته باشند، اعدادی مانند عدد پی (π)، عدد اویلر (e) یا جذر یک عدد با ریشه ۲.

اینکه اعداد اول (اعداد طبیعی بزرگتر از یک) و اعداد با پایه ۲، افراد زیادی را جذب خود می‌کنند جای تعجب ندارد. در واقع، تمام اعداد به دو دسته تقسیم می‌شوند: اعداد جالب و اعداد خسته کننده.

(لازم به توضیح است که یک عدد مثبت زمانی خسته کننده نام می‌گیرد که تمام ارقام آن در موقعیت‌های زوج، عدد زوج و همه ارقام در موقعیت‌های فرد، فرد باشند. ارقام از چپ به راست با شروع از یک شمرده می‌شوند). اما حتی در میان اعداد طبیعی، می‌توانید مقادیری را پیدا کنید که در زمینه‌های اجتماعی مختلف نیز با آن‌ها مواجه می‌شوید: هفت کوتوله، هفت گناه مرگبار، عدد ۱۳به عنوان عدد بد شانسی، و عدد۴۲ که با رمان «راهنمای مسافران مجانی کهکشان» اثر داگلاس آدامز رایج شد.

اما در مورد اعداد بزرگتری مانند ۱۷۲۹ چطور؟ مطمئناً این عدد برای بیشتر مردم هیجان انگیز به نظر نمی‌رسد. این عدد در نگاه اول، کاملا خسته کننده به نظر می‌رسد. زیرا نه یک عدد اول است، نه توان عدد۲ و نه مربع یک عدد. همچنین این ارقام از هیچ الگوی واضحی پیروی نمی‌کنند. این همان چیزی است که گادفری هارولد هاردی، ریاضیدان (۱۸۷۷-۱۹۴۷) هنگامی که سوار تاکسی با شماره پلاک ۱۷۲۹ شد، به آن فکر کرد.

در آن زمان، او می‌خواست به ملاقات همکار خود سرینیواسا رامانوجان (۱۸۸۷-۱۹۲۰) برود که در بیمارستان بستری بود. هاردی به دوست خود درباره شماره پلاک خسته کننده تاکسی گفت. هاردی امیدوار بود که این عدد نشانه یک فال بد نباشد. به همین دلیل رامانوجان بلافاصله با دوستش مخالفت کرد و گفت: «اتفاقا این عدد بسیار جالب است. این کوچکترین عددی است که به صورت مجموع دو عدد مکعب به دو روش مختلف قابل بیان است.»

اکنون ممکن است فکر کنید که در این صورت آیا اصلاً عددی وجود دارد که جالب نباشد. این سوال به سرعت منجر به ایجاد یک پارادوکس می‌شود: اگر واقعاً یک مقدار عددی مانند n وجود داشته باشد، این واقعیت که این عدد خاصیت هیجان انگیزی ندارد، آن را خاص می‌کند. اما در واقع برای تعیین ویژگی‌های جالب یک عدد، روش‌های کاملاً عینی وجود دارد؛ تحقیقات انجام شده توسط ریاضیدانان در سال ۲۰۰۹ بسیار شگفت‌انگیز بود و نشان داد که اعداد طبیعی (اعداد صحیح مثبت) به دو بخش کاملاً مشخص تقسیم می‌شوند: اعداد هیجان‌انگیز و اعداد خسته کننده.

دایره‌المعارف توالی اعداد

یک دایره المعارف جامع از توالی اعداد، ابزاری برای بررسی این دو مقوله متضاد را فراهم می‌کند. نیل اسلون، ریاضیدان، در سال ۱۹۶۳، زمانی که در حال نوشتن پایان نامه دکترای خود بود، ایده چنین توالی‌ای را در ذهن داشت. در آن زمان او باید مقادیر را در یک نوع نمودار به نام شبکه درختی محاسبه می‌کرد و در حین انجام این کار به رشته‌ای از اعداد برخورد کرد: ۰، ۱، ۸، ۷۸، ۹۴۴، ...، ولی نمی‌دانست دقیقا چگونه اعداد موجود در این دنباله را محاسبه کند. او دوست داشت بداند که آیا همکارانش قبلاً در طول تحقیقات خود به دنباله مشابهی برخورد کرده بودند یا خیر.

اما برخلاف لگاریتم‌ها یا فرمول‌ها، هیچ چیز ثبت‌شده‌ای برای دنباله اعداد وجود نداشت؛ و به این ترتیب، ۱۰ سال بعد، اسلون اولین دایره المعارف خود به نام «کتاب راهنمای دنباله اعداد صحیح» را منتشر کرد که شامل حدود ۲۴۰۰ دنباله بود و در انجام محاسبات خاص نیز مفید بود. این کتاب با استقبال زیادی روبرو شد. به گفته اسلون یکی از خوانندگان مشتاق این کتاب برای او نوشته: «تن‌ها سه کتاب وجود دارد، عهد عتیق، عهد جدید و کتاب راهنمای توالی اعداد صحیح».

در سال‌های بعد، توالی‌های بیشتری برای اسلون ارسال شد و مقالات علمی با موضوع توالی اعداد جدید منتشر شدند. در سال ۱۹۹۵، این ریاضیدان به همراه همکارش سیمون پلوف، دایره المعارف توالی اعداد صحیح را منتشر کردند که شامل ۵۵۰۰ دنباله بود. تولید محتوا در این زمینه به طور بی وقفه ادامه داشت، اما اینترنت امکان کنترل این حجم بالا از داده‌ها را فراهم کرد: در سال ۱۹۹۶، دایره المعارف آنلاین توالی اعداد صحیح (OEIS) به شکلی ظاهر شد که هیچ گونه محدودیتی در تعداد توالی‌هایی که می‌توان ثبت کرد، وجود نداشت.

این سایت، تنها در مارچ ۲۰۲۳، بیش از ۳۶۰ هزار ورودی داشته است. هر کسی می‌تواند اطلاعات را ارسال کند: هر شخصی که یک ورودی را ثبت می‌کند، فقط باید توضیح دهد که چگونه این دنباله ایجاد شده و از چه جهت جالب است، همچنین افراد باید مثال‌هایی برای توضیح چند عبارت اول ارائه دهند. پس از آن، داوران ورودی‌ها را بررسی کرده و در صورت داشتن معیارها، آن را منتشر می‌کنند.

علاوه بر توالی‌های معروف مانند اعداد اول (۲،۳،۵،۷،۱۱،۰۰۰)، توان‌های عدد ۲ (۲،۴،۸،۱۶،۳۲،۰۰۰) و یا توالی فیبوناچی (۱،۱،۲،۳،۵،۸،۱۳،۰۰۰)، کاتالوگ OEIS شامل نمونه‌های عجیبی نیز هست.

مثلا تعداد روش‌های ساخت یک برج پایدار از n (تعداد نامشخص) قطعه لگو دو در چهار، یا «توالی غذا برای تنبل‌ها» (lazy caterer’s sequence)، حداکثر تعداد قطعاتی که می‌توانیم با n برش مستقیم از یک پای یا پیتزا بدست آوریم.

از آنجایی که توالی‌های ارسالی اعداد، توسط حدود ۱۳۰ نفر بررسی می‌شوند و این لیست چندین دهه است که وجود دارد و از طرف جامعه ریاضی‌دانان به خوبی شناخته شده است، این مجموعه قرار است به عنوان یک انتخاب هدف از همه توالی‌ها در نظر گرفته شود. این باعث می‌شود کاتالوگ OEIS محبوبیت زیادی برای مطالعه توالی اعداد داشته باشد. بر این اساس، هر چقدر که یک عدد بیشتر در لیست ظاهر شود، جالب‌تر خواهد بود.

این نظر فیلیپ گوگلیمتی بود که وبلاگ فرانسوی زبان دکتر گولو را اداره کند. گوگلیمتی، در یک پست ادعای یک معلم سابق ریاضی را که عدد ۱۵۴۸ را عددی دلخواه و بدون هیچ خاصیتی بیان کرده بود بررسی کرده و می‌گوید که در واقع این عدد ۳۲۶ بار در کاتالوگ OEIS آمده است. هاردی هم اشتباه کرد که شماره پلاک ۱۷۲۹ را عددی خسته‌کننده و بی‌خاصیت نامید:، زیرا این عدد ۹۱۸ بار در پایگاه داده‌ها ظاهر شده است (و همچنین در برنامه تلویزیونی Futurama نیز چندین بار آمده است!)

بنابراین گوگلیمیتی شروع به تحقیق درباره اعدادی که واقعا خسته‌کننده هستند کرد، یعنی اعدادی که به ندرت در کاتالوگ OEIS ظاهر می‌شوند. یکی از این موارد عدد ۲۰۰۶۷ است. از ماه مارس، این کوچکترین عددی است که در هیچ یک از توالی‌های عددی که وارد سیستم شده‌اند دیده نشده است. (دلیل آن این است که پایگاه داده‌ها فقط ۱۸۰ کاراکتر اول یک دنباله اعداد را ذخیره می‌کند، در غیر اینصورت همه اعداد در لیست اعداد صحیح مثبت OEIS ظاهر خواهند شد.) در حالی که عدد ۲۰۰۶۷، یک عدد خسته کننده به نظر می‌رسد، عدد ۲۰۰۶۸ که فقط یک عدد بیشتر است، ۶ بار در این پایگاه داده‌ها آمده است.

اما قانون جهانی برای طبقه‌بندی اعداد خسته‌کننده وجود ندارد. شاید زمانی که این مقاله در حال نگارش است، دنباله اعدادی کشف شود که عدد ۲۰۰۶۷، جزء ۱۸۰ کاراکتر اول آن باشد. با این وجود، ورودی‌های OEIS معیاری مناسب برای سنجش جالب بودن یک عدد معین است.

گوگلیمتی تعداد همه ورودی‌های اعداد طبیعی را به ترتیب به دست آورد و نتیجه را به صورت گرافیکی ترسیم کرد. او توانست ابری از نقاط را به شکل یک منحنی وسیع به دست آورد که شیب آن به سمت مقادیر بزرگ زیاد می‌شود. این موضوع تعجب‌آور نیست، زیرا فقط اولین اعضای یک توالی در کاتالوگ OEIS ذخیره می‌شوند. اما نکته شگفت‌آور این است که منحنی از دو نوار تشکیل شده است که با یک فاصله آشکار از هم جدا شده‌اند؛ بنابراین هر عدد طبیعی ممکن است به تناوب و یا به ندرت در پایگاه داده‌های OEIS ظاهر شوند.

گولگیمتی که مجذوب این نتیجه شده بود، آن را برای ژان پل دیلا‌های که یک ریاضیدان است و مقالات او به طور دائم در مجله Pour la Science منتشر می‌شوند فرستاد. او می‌خواست بداند که آیا کارشناسان قبلا این پدیده را بررسی کرده‌اند یا نه؟ جواب منفی بود، بنابراین دیلا‌های موضوع را با همکارانش نیکولاس گووریت و هکتور زنیل مطرح کرد و به بررسی دقیق آن پرداخت. آن‌ها از نتایج «تئوری اطلاعات الگوریتمی» استفاده کردند که پیچیدگی یک عبارت را با طول کوتاه‌ترین الگوریتمی که عبارت را بیان می‌کند، می‌سنجند. مثلا بیان عدد دلخواه پنج رقمی‌ای مانند ۴۷۹۳۴ (توالی ارقام ۴،۷،۹،۳،۴) سخت‌تر از عدد ۱۶۳۸۴ (دو به توان ۱۴) است. طبق این قاعده از تئوری اطلاعات، اعدادی که ویژگی بیشتری دارند، پیچیدگی کمتری نیز دارند.

این بدان معناست که مقادیری که اغلب در کاتالوگ OEIS ظاهر می‌شوند، احتمالا به سادگی قابل بیان کردن هستند. دیلاهای، گووریت و زنیل توانستند نشان دهند که نظریه اطلاعات، مسیر مشابهی را برای پیچیدگی اعداد طبیعی که در منحنی گولگیمتی نشان داده شده بودند، پیش‌بینی می‌کند. اما این نمی‌تواند توضیحی برای شکاف این منحنی که به یاد نیل اسلون آن را «شکاف اسلون» می‌نامند، باشد.

به عقیده این سه ریاضیدان این شکاف ناشی از عوامل اجتماعی است، زیرا افراد بعضی از اعداد خاص را ترجیح می‌دهند. آن‌ها برای اثبات این موضوع، به انجام کاری پرداختند که با نام «شبیه‌سازی مونته کارلو» شناخته می‌شود: آن‌ها تابعی را طراحی کردند که اعداد طبیعی را به اعداد طبیعی دیگر وصل می‌کند و این کار به گونه‌ای انجام می‌شود که اعداد کوچک بیشتر از اعداد بزرگتر خروجی دارند. محققان مقادیر تصادفی را در تابع قرار دادند و نتایج را بر اساس فراوانی آن‌ها ترسیم کردند. این کار یک منحنی درهم و شیبدار، شبیه به داده‌های کاتالوگ OEIS ایجاد کرد؛ و درست مانند تجزیه و تحلیل تئوری اطلاعات، اثری از شکاف وجود نداشت.

برای درک بهتر اینکه این شکاف چطور ایجاد می‌شود باید ببینیم کدام اعداد در کدام نوار قرار می‌گیرند. برای مقادیر کوچک، شکاف اسلون خیلی مشخص نیست و در حدود ۳۰۰ عدد است. فقط برای اعداد بزرگتر این شکاف به شکل قابل توجهی باز می‌شود: حدود ۱۸ درصد از همه اعداد بین ۳۰۰ تا ۱۰ هزار در این نوار «جالب» قرار دارند، در حالیکه ۸۲ درصد باقی‌مانده جزء اعداد «خسته کننده» هستند.

همانطور که مشخص است، نوار اعداد جالب، حدود ۹۵.۲ درصد از اعداد مربع و ۹۹.۷ درصد از اعداد اول، و همچنین ۳۹ درصد از اعداد با ویژگی‌های عوامل اصلی را شامل می‌شوند. در حال حاضر، این سه کلاس نزدیک به ۸۸ درصد از گروه اعداد «جالب» را تشکیل می‌دهند. مقادیر باقیمانده به ترتیب دارای ویژگی‌های قابل توجهی مانند ۱۱۱۱ یا فرمول‌های ۲ n + ۱ و ۲ n – ۱ هستند.

بر اساس تئوری اطلاعات، اعدادی که باید مورد توجه خاص قرار بگیرند، اعدادی هستند که پیچیدگی کمی دارند، یعنی بیان آن‌ها آسان است. اما اگر طبق استدلال دیلاهای، گاوریت و زنیل، ریاضی‌دانان ارزش‌های خاصی را هیجان‌انگیزتر از ارزش‌های دیگر، و با پیچیدگی مساوی بدانند، این می‌تواند به شکاف اسلون منجر شود. به عنوان مثال: ۲ n + ۱ و ۲ n + ۲ از نظر تئوری اطلاعات، به یک اندازه پیچیده هستند، اما فقط مقادیر فرمول اول در "نوار اعداد جالب" قرار می‌گیرد.

دلیل آن این است که چنین اعدادی امکان مطالعه اعداد اول را فراهم می‌کنند، و به همین دلیل است که می‌توان آن‌ها در زمینه‌های دیگر نیز دید؛ بنابراین به نظر می‌رسد تقسیم‌بندی اعداد به «جالب» و «خسته کننده» ناشی از قضاوت‌های ما است، مثلا اهمیت دادن به اعداد اول. اگر می‌خواهید در پاسخ به سوال: عدد مورد علاقه‌تان چیست؟ پاسخ واقعاً خلاقانه‌ای بدهید، می‌توانید عددی مانند ۲۰۰۶۷ را انتخاب کنید که هنوز هیچ ورودی در دایره‌المعارف اسلون ندارد.